时序模型初探之二：移动平均法
简述
移动平均法（Moving average，MA）是根据时间的推移，依次计算某个时间窗口内的时序平均数，以此预测长期趋势的方法。
使用场景：当时间序列受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易观测发展趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响。
三种常用预测模型
移动平均法根据次数和权重的不同，可分为三种常用预测模型，分别是：
简单移动平均法
设观测序列为
，取移动平均的窗口 ，简单移动平均的公式为： 当观测目的的基本趋势在某一水平上下波动时，可用简单移动平均方法建立预测模型：
其预测标准差为：
总结，简单移动平均只适合做近期预测，且预测目标的发展趋势变化不大的情况。预测模型使用最近
期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 的取值范围： 。当历史序列的基本趋势变化不大，且序列中随机变动成分较多时， 的取值应该较大一些，否则 的取值宜小一点。选择 值的一个有效方法是，选取多个 值，选预测标准差最小的那个值。 加权移动平均法
在简单移动平均法中，每个序列值在预测过程中的权重都是等同的。但实际上，越靠近当前的序列值应该包含着更多关于未来的的信息量。因此，加权移动平均法的基本思想就是：在预测过程中给予近期数据更高的权重。
设观测序列为
，取移动平均的窗口 ，加权移动平均的公式为： 使用加权移动平均法建立预测模型：
可用总的平均相对误差
，对预测值进行修正： 修正后的预测值:
假设
，则表示总预测值的平均值比实际值低0.06。 总结，在加权移动平均的预测模型中，权重
的选择具有一定的经验性，一般原则是近期数据的权重偏大，而远期数据的权重偏小。 二次移动平均法
二次移动平均法，又称为趋势移动平均法。由上可知，简单移动平均法和加权移动平均法，适用于时间序列没有明显变动趋势的情况。当时间序列出现线性增加或减少的变动趋势时，使用移动平均或加权移动平均的预测模型得到的结果会出现滞后偏差，而变化的趋势恰好体现在滞后偏差上。因此，移动平均或加权移动平均法的思想就是：基于移动平均或加权移动平均预测得到滞后偏差建立线性趋势的预测模型，对一次移动平均的预测结果进行修正，即进行二次移动平均，最终得到一个修正后的预测值更接近实际情况。
设观测序列为
，取移动平均的窗口 ，简单移动平均的公式为： 所谓二次移动平均，就是在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均，其计算公式为：
以下是利用移动平均的滞后偏差建立线性趋势预测模型的过程：
设时间序列
从某个时期开始呈现线性趋势，且线性趋势会延续到未来，其线性趋势预测模型为： 其中，
表示当前时期， 为由 至预测期的间隔期数， 为平滑系数，分表示斜率和截距。 推导平滑系数，由上面的线性函数可知：
所以
因此，结合
，可得 由于
与 的关系等同于 与 的关系，同理可得： 于是，平滑系数的计算公式为：
至此，线性趋势预测模型建立完成。
总结，二次移动平均法是一种既能反映趋势变化，又可以有效的分离出周期变动的预测方法。因此，适用于同时存在线性趋势和周期波动的时间序列。
总结
一次移动平均的假设前提是最近
二次及更高次移动平均的权重不再是